Stern-Brocot sayı dizisi ve modüler grup

Abstract

Stern-Brocot sayı dizisi pay ve paydası tam sayılardan oluşan ve tamamı indirgenmiş kesirlerden oluşan, pozitif rasyonel sayıları temsil etmek için kullanılan bir yöntemdir. Bu tezde Stern-Brocot sayı dizisi ile sürekli kesirler, modüler grup ve Genişletilmiş Stern Brocot sayı dizisi arasındaki ilişkiler çalışılmıştır. Bu tez toplam yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışma tanıtılmış, konunun tarihsel süreci ve yapılan çalışmalardan kısaca bahsedilmiştir. İkinci bölümde diğer bölümlerde kullanılacak olan tanımlar, teoremler, örnekler ve yöntemler verilmiştir. Üçüncü bölümde Stern-Brocot sayı dizisi tanıtılmış, konuyla ilgili teorem ve örnekler verilmiştir. Ayrıca dizinin farklı formatlarda gösterimi ifade edilmiştir. Dördüncü bölümde Stern-Brocot sayı dizisi ile sürekli kesirler arasındaki ilişki verilmiştir. ve örnekler sunulmuştur. Beşinci bölümde özgün bir kısım olarak Stern-Brocot sayı dizisindeki her elemanın modüler grupta blok formlar yardımıyla ifade edilebildiği gösterilmiştir. Stern-Brocot sayı dizisi ile modüler grup arasındaki yakın ilişki verilmiştir. Altıncı bölümde Stern-Brocot sayı dizisine negatif rasyonel sayıların eklenmesiyle elde edilen Genişletilmiş Stern-Brocot sayı dizisi verilmiştir ve daha sonra yeni oluşturulan dizi ile modüler grup arasındaki ilişki özgün bir şekilde sunulmuştur. Yedinci bölümde tezden elde edilen sonuçlar verilmiş ve kısaca özetlenmiştir. Ayrıca ileride yapılacak çalışmalar için açık problemler verilmiştir

The Stern-Brocot sequence of numbers is a method used to represent positive rational numbers whose numerator and denominator are integers and all are reduced fractions. In this thesis, the relationships between Stern-Brocot and continuous fractions, modular group and expanded Stern-Brocot number sequence are studied. This thesis consists of seven chapters in total. In the first part, the study is introduced, the historical process of the subject and the studies carried out are briefly mentioned. In the second chapter, definitions, theorems, examples and methods that will be used in other chapters are given. In the third chapter, Stern-Brocot number sequence is introduced, related theorems and examples are given. In addition, the display of the series in different formats is expressed. In the fourth chapter, the relationship between Stern-Brocot number sequence and continuous fractions is given and examples are presented. In the fifth chapter, it has been shown as a unique part that each element in the Stern Brocot number sequence can be expressed in the modular group with the help of block forms. The close relationship between the Stern-Brocot number sequence and the modular group is given. In the sixth chapter, the Expanded Stern-Brocot number sequence obtained by adding negative rational numbers to the Stern-Brocot number sequence is given and then, the relationship between the newly created series and the modular group is presented in a unique way. In the seventh chapter, the results obtained from the thesis are given and briefly summarized. Also, open problems are given for future studies.