Lineer olmayan Fouier tabanlı yaklaşım

Abstract

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, Fourier serileri ve lineer operatörler ile yaklaşım teorisi ve bu teorilerin gelişimi ile ilgili bir kronolojik bilgi içermektedir. İkinci bölümde bu çalışmada kullanılan temel tanım ve teoremler ile gerekli eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü bölümde önce lineer olmayan Fourier tabanlı seriler tanıtılmıştır. Sonra bu serilerin kısmi toplamlarının ve Cesàro ortalamalarının yakınsaklığı incelenmiştir. Ayrıca lineer olmayan Fourier tabanlı serilerin kısmi toplamlarının, genelleştirilmiş de la Vallée Poussin ortalamalarının ve Cesàro ortalamalarının düzgün norm ve Hölder normunda yaklaşım problemleri çalışılmıştır. Dördüncü bölümde yeni bir {Tλ(f, .) } pozitif lineer operatörler ailesi tanımlanmış, bu operatörlerin bazı yaklaşım özellikleri incelenmiş ve Voronovskaya tipi yaklaşım teoremi verilmiştir. Ayrıca derecesi N’yi aşmayan polinomlar uzayında sınırlandırılmış Tλ(f,x) operatörünün ve kuadratik değişkenli genelleştirilmiş üstel operatörlerin özdeğerleri ve özfonksiyonları incelenmiştir. Son bölüm bu tezde elde edilen sonuçların özeti, açık problemler ve önerilerden oluşmaktadır.

This thesis consists of five chapters. The first chapter includes some chronological information about approximation theory and linear operator theory and their progress. In second chapter some basic definitions, theorems and inequalities which are used are given. In third chapter, firstly we define Fourier series by nonlinear basis. Later we give convergence of partial sums and Cesàro means of Fourier series by nonlinear basis. Furthermore approximation problems for Cesàro means, generalized de la Vallée Poussin means and for partial sums of nonlinear Fourier series are investigated in uniform and Hölder norms. In fourth chapter a new positive linear operator family {Tλ(f,x) } is introduced and some approximation properties, Voronovskaya-type theorem is given for this family. Additionally eigenvalues and eigenfunctions of the restriction of Tλ(f,x) operators and general exponential operators with quadratic variance to the space of polynomials of degree at most N are investigated. Last chapter provides the summary of all results obtained in this thesis and suggests open problems for next studies.