Düzgün figürlerin sınıflandırılması

Abstract

{m,n} tipindeki bir düzgün figürden basitçe anlaşılan, uygun bir yüzey üzerinde her yüzü eşit sayıda kenara sahip ve her köşesinden eşit sayıda kenar çıkan üç boyutlu bir şekildir. Jones ve Singerman' in 1978 yılındaki çalışmalarında, [11], yönlendirilebilir yüzeyler üzerinde düzgün figürler teorisinin temelleri atılmıştır. Bu çalışmadan sonra, aslında 16. yüzyıldan beri çalışılmakta olan ve çeşitli tanımları verilmiş olan düzgün figürlerin çalışılması hız kazanmıştır, özellikle ayrık gruplar teorisinde üçgen grupları ile ilgili bir çok sonuç bu figürler yardımıyla elde edilebilmektedir. [11] de verilen bir sonuç yardımıyla (2,m,n) üçgen gruplarının normal alt grupları ile {m,n} tipindeki düzgün figürler arasında 1-1 bir ilişki kurulmuştur. Bu sonuç; gruplarla ilgili bilinenlerden düzgün figürler hakkında, düzgün figürlerden de normal alt gruplar hakkında bilgi elde edilmesini sağlar. Bu tezde düzgün figürlerin bir sınıflandırılması yapılmıştır. Birinci bölümde gerekli kavramlar tanıtılmış, ikinci bölümde ise bilinen sonuçlar hatırlatılmıştır. Üçüncü bölümde yukarıdaki eşleme yardımıyla grup teoriye dayalı sonuçlar elde edilmiştir ve Fuchs grupları ile ilişki ortaya konmuştur. Dördüncü bölümde ise çok kullanılanlar dışında kalan ve onlardan cebirsel işlemler yardımıyla elde edilen düzgün figür sınıfları verilmiştir. Ayrıca literatürde yer alan ve cinsi g≤7 olan yüzeyler üzerindeki tüm düzgün, kompakt, yönlendirilebilir ve bağlantılı figürler listelenmiştir.

An {m,n} type regular map, simply means a three dimensional shape which has equal number of sides on its every faces and equal number of sides which comes out from its every corner. Jones-Singerman, [11], in their studies in 1978, laid the foundation of the theory of regular maps on orientable surfaces. These studies caused an increase on the search on regular maps which has been actually studied since 16"1 century and some definitions has been proved before. Especially, many results related to triangular groups of discrete groups theorem can be proved by the help of these maps. By the help of a result in [11], a one-to-one relationship between normal subgroups of (2,m,n) triangular groups and {m,n} type regular maps. This result helps to ensure information about regular maps from the knowledge of groups and about normal subgroups from regular maps. In this thesis, the regular maps are classified. In the first chapter, necessary definitions are given. In the second chapter, known results are considered. In third chapter, by the help of the relation above, the results related to group theory are obtained and relationship with Fuchs groups is determined. In fourth chapter, regular maps classes which are out of frequently-used ones and obtained by the help of algebraic calculations from them, are given. In addition, every regular, compact, orientable and connected maps on the surfaces whose genus is g≤7 are listed.