Modüler gruplar

Abstract

Fuchs gruplarının en önemlisi olan modüler grubun incelenmesine 1820 li yıllarda Abel, Gauss ve Jacobi'nin eliptik fonksiyonları keşfetmesiyle başlanmıştır. Modüler grubun üst yan düzlemdeki hareketlerini çalışma isteği ve Riemann yüzeyleri ile ilgisi bu grubun diğer Fuchs gruplarına göre daha fazla çalışılmasına neden olmuştur. Modüler grubun kendisinin yanı sıra çeşitli seviyelerden temel denklik alt grupları da çalışmalarda kullanılmıştır. Çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm çalışmanın hazırlık kısmını oluşturmaktadır ve çalışma boyunca gereksinim duyulacak kavramlar ve bazı temel teoremler verilmiştir. Ayrık grubun farklı verilen birçok tanımının denk olduğu gösterilmiştir. Özellikle modüler grup ve temel özellikleri, serbest grup ve serbest çarpım kavranıları üzerinde durulmuştur. Ayrıca Reidemeister-Schreier metodu ile modüler grubun sonlu indeksli bazı alt gruplarının üreteçleri bulunmuştur. İkinci ve üçüncü bölüm tezin asıl kısmıdır. İkinci bölümde modüler grubun kuvvet alt gruplarının ve serbest normal alt gruplarının yapıları verilmiştir. Üçüncü bölümde de temel denklik alt gruplarının yapıları ve modüler grubun denklik alt grubu olmayan normal alt grupları verilmiştir. Son bölümde modüler grubun normal alt grupları cins, indeks, seviye ve parabolik sınıf sayışma göre tablolar halinde verildi.

The investigation of modular group, which is the most important of Fuchsian groups, has begun with the exploration of elliptic functions by Abel, Gauss and Jacobi in 1820s. The desire to work on the act of modular group on the upper half plane and its relevance with Riemann surfaces have caused this group to be studied more extensively than other Fuchsian groups. The principal congruence subgroups of various levels are also used in studies as well as modular group itself. The work consists of four chapters. The first chapter is the preliminary chapter containing all notions and theorems needed later during the work. The equivalence of several definitions of discrete groups given in the literature is shown. The fundamental properties of modular group and free group and free product concepts are especially considered. Furthermore, generators of some subgroups of the modular group having finite index are obtained. The second and the third chapter are the main part of the work. The structure of power subgroups and free nomal subgroups are given in the second chapter. The structure of principal congruence subgroups and some normal subgroups of the modular group which are not congruence subgroups are given in the third chapter. Finally, the normal subgroups of modular group are represented in tables with respect to genus, index, level and parabolic class number.