Bazı cebirsel yapılar ve bunların temel özellikleri

Abstract

Bu tez; grup, halka, cisim ve cisim genişlemeleri ile modüller gibi özel cebirsel yapılar ve bunların temel özellikleri üzerinde incelemeler yapmaktadır. Tez 4 (dört) ana bölümden oluşmaktadır. 1. Bölüm genel olarak Sylow p-alt gruplar, Sylow teoremleri, bir grubun bir kümeye etkisi ve çözülür gruplar konularını incelenmektedir. Sylow p-alt gruplar, grupların sınıflandırılmasmda, çözülür gruplar ise polinomların köklerinin bulunmasında ve cisimlerin otomorfizma gruplarının belirlenmesinde önemli rol oynamaktadır. 2. Bölüm; tamlık bölgesi ve cisimlerde çarpanlara ayrılma konusunu içermektedir. Burada Temel ideal Halkası, Temel İdeal Bölgesi, Euclid Algoritması, Tek Türlü Çarpanlara Ayırma Bölgesi, İndirgenemezlik, Cebirsel ve Transandant elemanlar, Sonlu Cisimler ve Cisim Genişlemeleri gibi temel yapıların tanımları verilerek, özellikleri incelenmiştir. 3. Bölümün içeriği ise Galois Teorisi konusu olup, ilk iki bölümde verilen konular yardımıyla, Galois grubu, Galois cismi, bir polinomun bir cisim üzerine çözünürlülüğü gibi kavramlar incelenmiştir. Son bölümde cisimler ve abel gruplar ile doğrudan ilişkili olan, vektör uzaylar ile çok benzer özellikler gösteren Modül cebirsel yapısı üzerinde çalışılmıştır. Ayrıca Artin ve Noether modül (ve de halka) tanımlamaları ve özellikleri verilmiştir.

This thesis concerns special groupoids such as group, ring, field and field extension, modulles, and their fundamental features. The thesis contains 4 (four) main chapters. Chapter 1 generally investigates the subjects Sylow p-subgroup, Sylow theorems, acting of a group into a set, and solvable groups. The Sylow p-subgroups play an important role in finding the classification of groups, and solvable groups are important in roots of polynomials, and in getting automorphism groups of fields, respectively. Chapter 2 contains the subject factorization of fields and integral domains. Here, the definition of Prime Rings, Principal Ideal Domains, Euclid Algorithm, Uniquie Factorization Domain, Irreducibility, Algebraic and Transandant elements, Finite Fields and Finite Extensions are given and their features are studied. Chapter 3 contains the subject Galois Theory. By the help of the subjects given in the first two chapters, concepts such as Galois groups, Galois fields, solvability of a polynomial onto a field have been investigated. In the final chapter, studies on the Modulles groupoids that have close similarities with vector spaces and which are in direct relation with fields and abel groups have been studied. Moreover, the definitions and features of Artin and Noether modulles ( and rings ) are given.