Tzitzeica eğrilerinin ve yüzeylerinin bir karakterizasyonu

Abstract

Bu çalışma üç ve dört boyutlu Öklid uzayında eğriler, üç boyutlu Öklid uzayında yüzeyler ve dört boyutlu Öklid uzayında hiperyüzeyler için Tzitzeica şartı üzerine yapılmış ve orijinal sonuçlar elde edilmiştir. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş bölümüdür. İkinci bölümde, çalışma için gerekli olan temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, bazı özel tanımlı eğrilerin Tzitzeica eğrisi (Tz-eğrisi) olma koşulları incelenmiştir. Bu eğriler normal, rektifiyan, 1. ve 2. mertebeden involute eğrileridir. Dördüncü bölümde, Tzitzeica yüzeyi (Tz-yüzeyi) olma şartı yüzeyin temel form elemanları cinsinden ifade edilmiştir. Bazı özel yüzeyler incelenmiş ve örnekler verilmiştir. Bu yüzeyler Monge, öteleme, çarpanlarına ayrılabilir, küresel çarpım, dönel ve regle yüzeylerdir. Ayrıca bu kısımda düzlemsel Tz-eğrisi tanımlanmıştır. Beşinci bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında Tz-eğrisi olma şartı üç çeşit olarak belirlenmiştir. Bazı özel eğrilerin bu üç çeşit altında Tz-eğrisi olma şartları elde edilmiş ve örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında bir hiperyüzeyin Tz-hiperyüzey olma şartı hiperyüzeyin temel form elemanları cinsinden ifade edilmiştir. Bazı özel hiperyüzeyler incelenmiş ve örnekler verilmiştir.

This study has been done on the Tzitzeica condition for curves in three and four dimensional Euclidean spaces, surfaces in three dimensional Euclidean space and hypersurfaces in four dimensional Euclidean space and some original results has been obtained. This thesis consists of six chapters. The first chapter is the introduction. In the second chapter, basic definitions and theorems which will be used in the other chapters are given. In the third chapter, the conditions for some specially defined curves (i.e. normal, rectifying, first and second order involute curves) to be Tzitzeica curves (Tz-curve) are examined. In the fourth chapter, the condition of being a Tzitzeica surface (Tz-surface) is expressed in terms of the fundamental form elements of the surface. Some special surfaces are examined and examples are given. These surfaces are Monge, translation, factorable, spherical product, revolution and ruled surfaces. In addition, in this chapter planar Tz-curves are defined. In the fifth chapter, Tz-curve condition for the four dimensional Euclidean space are determined as three types. Tz-curve conditions are obtained for some special curves under these three types and some examples are given. In the sixth chapter, the condition for a hypersurface to be Tz-hypersurface in four dimensional Euclidean space is expressed in terms of fundamental form elements of the hypersurface. Some special hypersurfaces are examined and examples are given.