Fuchsian gruplar

Abstract

Fuchsian grupların matematiğe girişi Poincare 'nin L.Fuchs 'un diferansiyel denklemler üzerine yayınladığı bir makaleyi incelemesiyle olmuştur. Poincare bu makaleden yararlanarak eliptik fonksiyonların genelleştirilmişi olan bir fonksiyon sınıfi tanımladı ve Fuchsian fonksiyonlar adım verdi. Otomorf fonksiyonlar için kullandığı T süreksiz grubunun aynı zamanda düzlem hiperbolik geometrinin yön koruyan izomorfizmlerinin grubu ile de çakıştığım farketti. Fuchsian gruplar PSL(2,IR) 'nin ayrık altgruplan olduğundan bu çalışmanın birinci bölümünde Topolojik dönüşüm grupları, ayrık gruplar ve doğrusal dönüşümlerle ilgili bir kısım sonuçlar verildi. Ayrıca bu bölümde Riemann yüzeyleri, Fuchsian grupların bölüm uzayları olduğundan Riemann yüzeylere ve Fuchsian gruplarla ilişkilerinden dolayı latislere kısaca yer verildi. ikinci bölümde Hiperbolik metrik, Fuchsian grupların temel bölgelerinin hiperbolik alanlarını bulmada kullanılacak olan Hiperbolik alan tanımlandı. Tezin ana kısmını oluşturan, Üçüncü bölümde ise Fuchsian grup tanımı, Fuchsian gruplarla süreksiz gruplar arasındaki ilişki, Üçgen gruplar, Fuchsian grupların temel cebirsel özellikleri, bir Fuchsian grubun temel bölgesi, Fuchsian gruplarla Riemann yüzeylerin arasındaki ilişki ve bir Fuchsian grubun temel bölgesinin hiperbolik alam ile ilgili bazı önemli teoremlerin ispatı anlaşılır bir şekilde verildi.

Fuchsian groups first have been introduced by Poincare. His starting point was a paper on differential equations which was written by L. Fuchs. Using the results of this paper, Poincare defined a class of functions which were the generalized form of elliptic functions and he called them as Fuchsian functions. Moreover, he realized that the discontinuous group of automorphic functions, T, coincided with the group of conformal isomorphisms of the plane hyperbolic geometry. Fuchsian groups are discrete subgroups of PSL(2,IR). From this point of view, in the first chapter, we have considered topological transformation groups, discrete groups and linear transformations. In the same chapter, we also mentioned about the Riemann surfaces and lattices. Because the Riemann surfaces are quotient spaces of Fuchsian groups and lattices are closely related to the Fuchsian groups. In the second chapter, hyperbolic metric and hyperbolic area have been defined. Because, we are interested in the hyperbolic area of fundamental regions of Fuchsian groups. In the third chapter which is main part of the thesis, definition of Fuchsian group, the relation between Fuchsian groups and discontinuous groups, the triangle groups, the some important algebraic properties of Fuchsian groups, the fundamental region of a Fuchsian group, the relation Fuchsian groups and Riemann surfaces and the hyperbolic area of the fundamental region of a Fuchsian groups have been considered and the related theorems and proofs have been given.