Bergman ortogonal polinomlarına göre fourier serilerinin maksimal yakınsaklığı

Abstract

Bu çalışmanın amacı; Bergman uzaylarında bir fonksiyonun, bölgenin Bergman ortogonal polinomlarına göre inşa edilen Fourier serisinin yakınsaklık ve maksimal yakınsaklık özelliklerini araştırmaktır. Tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; yaklaşım teorisinde araştırılan problemler ve yaklaşım teorisinin gelişimi hakkında bilgi verilmiştir.İkinci bölümde; bu çalışmada kullandığımız temel tanım ve teoremler genel hatlarıyla verilmiş, bazı örneklendirmeler yapılmıştır. Üçüncü bölümde; Bergman uzayı tanımı ve bu uzayda tanımlı iç çarpıma göre bazı lemma ve teoremler verilmiştir. Dördüncü bölümde; Bergman ortogonal polinomları tanıtılmış, Hilbert ve Bergman uzaylarında ortonormal sistemlere göre açılımlar incelenmiştir.Beşinci bölümde; önce kompleks düzlemde cebirsel polinomlarla yaklaşımın mümkünlüğünü ifade eden klasik teoremler incelenmiş, sonra da Fourier serilerinin, bölgenin ortonormal polinomlarına göre yakınsaklığı araştırılmış, çeşitli bölge durumlarında yaklaşım hızının değerlendirildiği bazı teoremlere yer verilmiştir.Altıncı bölümde; önce polinomun kapalı bölgedeki maksimal değerine göre daha geniş bölgedeki artış hızını ifade eden Bernstein & Walsh lemması verilmiştir. Son olarak kanonik bölgede analitik olan bir f fonksiyonunun, bölgenin ortonormal polinomlarına göre inşa edilen Fourier serisinin maksimal yakınsaklığı bölgenin kapanışı durumunda Walsh'un teoreminde ve kanonik bölgenin kapanışı durumunda Suetin'in teoreminde incelenmiştir.

The aim of the thesis, is to search properties of the convergence and maximal convergence of the Fourier series of a function in the Bergman spaces, which is constructed with the Bergman orthogonal polynomials of the domain. The thesis consists of six chapters. In the first chapter, the knowledge about the problems and the developments of the approximation theory are given. In the second chapter, the fundamental definitions and theorems and some examples are included. In the third chapter, the definition of Bergman space and some lemmas and theorems according to the inner product of this space are given. In the fourth chapter, the Bergman orthogonal polynomials are introduced and the expansions to the ON systems in a Hilbert space and the Bergman space are investigated. In the fifth chapter, firstly the classical theorems expressing the possibility of approximation with algebraic polynomials in the complex plane are examined, and then the convergence of Fourier series with respect to the orthonormal polynomials of the domain is investigated, some theorems in which the rate of convergence is estimated in the case of some domains are given. In the sixth chapter, firstly Bernstein & Walsh lemma on the rate of growth of polynomials on a larger domain via to the maximal value of their in the closed domain are given. Finally, the maximal convergence of Fourier series of an analytic function f in the canonical domain, constructed with orthonormal polynomials of the domain is examined in the Walsh's theorem in case of closure of the region and in the Suetin's theorem in case of closure of the canonical region.