Farey Graf, modüler grup, genişletilmiş modüler grup, sürekli kesirler ve özel sayı dizileri ile ilişkili yeni kriptosistemler

Abstract

Bu tezde graf teorisi, grup teorisi, matris teorisi ve sayılar teorisi ile ilişkili şifreleme algoritmaları geliştirilmiştir. Şifreleme algoritmalarının bilgisayar yazılımları oluşturulmuştur. Bu tez dokuz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çalışma tanıtılmıştır. İkinci bölümde; çalışma için gerekli tanım, teorem, metot ve sonuçlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, kriptoloji ile ilgili genel bilgilere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde, karmaşık fonksiyonlar teorisi ile ilişkili olarak Pell-Lucas polinomunun farklı bir temsili ve genel kök formülü elde edilmiştir. Beşinci bölümde, Fibonacci ve Pell-Lucas polinomlarının; Hecke grupları parametreleri ile olan ilişkisi ele alınmıştır. Yeni sayı dizileri, teoremler, formüller ve bağıntılar elde edilmiştir. Altıncı bölümde, genişletilmiş modüler grubun sonlu indeksli normal alt gruplarının üreteçleri ile ilişkili yeni Fibonacci üreteç matrisler elde edilmiştir. Bu üreteç matrisler diğer bölümde şifreleme algoritmasında kullanılmaktadır. Yedinci bölümünde matris teorisi, sayılar teorisi ve grup teorisi ile ilişkili yeni şifreleme algoritması geliştirilmiştir. Bu şifreleme algoritmasında pi sayısı kullanılmaktadır. Sekizinci bölümünde; Farey graf, modüler grup ve sayılar teorisi ile ilişkili yeni şifreleme sistemi geliştirilmiştir. Pi sayısı, Euler sabiti (e) ve altın oran (fi) ile ilişkili şifreleme sistemidir. Bu şifreleme sisteminin uygulaması ile ilgili olarak pi sayısı, Euler sabiti, altın oran ile ilişkili fonksiyon, şifreleme ve deşifreleme için bilgisayar yazılımları gerçekleştirilmiştir. Dokuzuncu bölümde; elde edilenler tartışılmış, açık problem ve öneriler verilmiştir.

In this thesis, encryption algorithms related to graph theory, group theory, matrix theory, and number theory are developed. The computer software for the encryption algorithms has been created. This thesis consists of nine chapters. In the first chapter, the study is introduced. In the second chapter, definitions, theorems, methods, and results are given. In the third chapter, general information about cryptology is given. In the fourth chapter, a different representation of the Pell-Lucas polynomial and its general root formula are obtained in relation to the theory of complex functions. In the fifth chapter, the relation of Fibonacci and Pell-Lucas polynomials with the parameters of Hecke groups is discussed. New number sequences, theorems, formulas, and relations are obtained. In the sixth section, new Fibonacci generator matrices associated with the generators of finite-index normal subgroups of the extended modular group are obtained. These generator matrices are used in the encryption algorithm in the next section. In the seventh chapter, a new encryption algorithm related to matrix theory, number theory, and group theory is developed. The number pi is used in this encryption algorithm. In the eighth chapter, a new encryption system related to the Farey graph, modular group, and number theory is developed. It is an encryption system related to the number pi, Euler's constant (e), and the golden ratio (fi). Regarding the implementation of this encryption system, computer software has been created for the function, encryption, and decryption related to the number pi, Euler's constant, golden ratio. In the ninth chapter, the results are discussed, open problems and recommendations are given.