Rastlantısal möbius dönüşümleri

Abstract

Bu çalışmada Biyolojide Phyllotaxis Fenomeni olarak bilinen yaprakların dizilişinin matematiksel modellemesi ele alınmıştır. Colin Goodall 1991 yılında yayınlanan çalışmasında [9], Phyllotaxis’in cut-grow modeli denilen bir modelini, her bir üçgen bir primordiumu temsil etmek üzere, üçgenlerin bir dizisinin şekillerinin davranışının analizi vasıtasıyla çalışmıştır. Burada bağlantılı bir soru üçgen içinde üçgen çizilmesi problemidir [11, 12]. Karmakar, 2004 yılında yayınlanan çalışmasında [8], dönüşümlerin daha geniş bir sınıfı ile üretilen üçgenlerin bir dizisinin şekillerinin gelişimini çalışmıştır ki bu cut-grow modeli ve üçgenlerin içinde üçgen problemini içerir. Biz burada Karmakar’ın bu çalışmasını inceleyeceğiz. { }n n 1 X ∞ = bütün Möbius dönüşümlerin kümesinde değerler alan rastlantısal değişkenlerin bir dizisi olsun. Bu çalışmada, z C C ∈ = ∪ ∞ ∞ { } (genişletilmiş kompleks düzlem) olmak üzere ( ) ( ) S z X X z n n 1 = oKo ile tanımlanan { } ( ) n n 0 S z ∞ = dizisini dikkate alacağız ve { } ( ) n n 0 S z ∞ = dizisinin hemen hemen kesin yakınsaklığının gerek ve yeter şartlarını tartışacağız. Bunun bir uygulaması olarak { } ( ) n n 0 S z ∞ = şeklinde bir dizinin phyllotaxis’in bir matematik modelini genellemek için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Aynı zamanda { } n ( ) n 0 S z ∞ = dizisinin dağılımdaki yakınsaklığı ile ilgili bazı sonuçları tartışacağız. Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez çalışmasının sonraki bölümlerinde kullanacağımız Möbius dönüşümlerinin temel özellikleri, hemen hemen kesin yakınsaklık, Kolmogorov 0-1 kanunu gibi bazı temel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde cut-grow modeli ve üçgen içinde üçgen problemi ele alınmış, rastlantısal Möbius dönüşümlerinin birleşimleri incelenmiştir. Üçüncü Bölümde ise { } ( ) n n 0 S z ∞ = dizisinin dağılımdaki yakınsaklığına ait bazı sonuçları tartışılmıştır.

In this study, the mathematical model of the arrangement of leaves, which is known as Phyllotaxis Phenomenon in biology, has been analyzed. Colin Goodall, in his study in 1991 [9], had studied a model of phyllotaxis which is called the cut-grow model via an analysis of the behavior of shapes of a sequence of triangles where each triangle represented a primordium. A related question is the problem of drawing triangles inside of triangles [11, 12]. Karmakar, in his study [8] studied on the evolution of the shapes of a sequence of triangles produced by larger class of transformations which includes the cut-grow model and the triangles inside triangles problem. We are going to examine this study by Karmakar. Let { }n n 1 X ∞ = be a sequence of i.i.d. random variables taking values in the set of all Möbius transformations. In this study, we consider the sequence { } n ( ) n 0 S z ∞ = defined by ( ) ( ) S z X X z n n 1 = oKo where z C C ∈ = ∪ ∞ ∞ { } (extended complex plane) and discuss necessary and sufficient conditions for almost surely convergence of { } ( ) n n 0 S z ∞ =. As an application we will see how a sequence of the form { } ( ) n n 0 S z ∞ = may be used to generalize a mathematical model of phyllotaxis. Meanwhile, some results related with the convergence in distribution of the sequence { } ( ) n n 0 S z ∞ = have been discussed.This study consists of three chapters. In the first chapter, some basic concepts like the basic properties of Möbius transformations, almost surely convergence and Kolmogorov 0-1 Law, which will be used in the next chapters, have been mentioned. In the second chapter, cut-grow model and the problem of triangles inside triangles have been studied and compositions of random Möbius transformations have been investigated. In the third chapter, some results related with the convergence in distribution of the sequence { } ( ) n n 0 S z ∞ = have been discussed.