Bazı dönüşümler altında sabit kalan eğrilerin geometrisi

Abstract

Beş bölümden oluşan bu tezde, metrik uzaylar üzerinde sabit k-elips ve sabit k-Cassini ovali için varlık ve teklik teoremleri verilmiştir. Elde edilen teorik sonuçlar, hem çeşitli örnekler hem de aktivasyon fonksiyonlarına verilen uygulamalar ile desteklenmiştir. Bu tezin ilk bölümü giriş kısmını oluşturmaktadır. İkinci bölümde, tez boyunca kullanılan temel tanımlar ve çeşitli örnekler sunulmuştur. Üçüncü bölümde, metrik uzaylar üzerinde k-elips kavramı geometrik örnekleri ile tanıtılıp, sabit k-elips kavramı için iki farklı yardımcı fonksiyon ile çeşitli varlık ve teklik teoremleri elde edilmiştir. Ayrıca, elde edilen bu teoremlerden özdeşlik dönüşümünü dışlayan bir koşul verilmiştir. Teorik sonuçlar, S-Şeklinde Doğrultulmuş Lineer Aktivasyon Ünite (S-Shaped Rectified Linear Activation Unit) aktivasyon fonksiyonuna verilen uygulama ile daha da kuvvetlendirilmiştir. Dördüncü bölümde, metrik uzaylar üzerinde k-Cassini ovali kavramı şekilsel örnekler ile verilip, bu kavramın sabitliği için çeşitli varlık ve teklik teoremleri ifade ve ispat edilmiştir. Elde edilen teorik sonuçlar örnekler ile desteklenip, bu sonuçlardan özdeşlik dönüşümünü dışlayan teoremler verilmiştir. Son olarak da, Sızdırılmış rektifiye doğrusal ünite (Leakly rectified linear unit) aktivasyon fonksiyonuna bir uygulama elde edilmiştir. Beşinci bölüm, sonuç ve öneriler bölümü olup, bu bölümde tezin kısa bir özeti verilip, bazı açık problemler önerilmiştir.

In this thesis, which consists of five chapters, existence and uniqueness theorems are presented for fixed k-ellipse and fixed k-Cassini oval in metric spaces. The obtained theoretical results are supported by various examples and applications to activation functions. The first chapter of this thesis constitutes the introduction section. The second chapter includes the fundamental definitions and various illustrative examples that support the thesis study. In the third chapter, the concept of k-ellipse on metric spaces is introduced with geometric examples, and various existence and uniqueness theorems for the fixed k-ellipse concept are obtained using two different auxiliary functions. Additionally, a condition excluding the identity transformation is provided from the derived theorems. The theoretical results are further strengthened with an application to the S-Shaped Rectified Linear Activation Unit activation function. In the fourth chapter, the concept of k-Cassini oval is presented with geometric examples on metric spaces, and various existence and uniqueness theorems for its fixed points are stated and proven. The obtained theoretical results are supported with examples, and theorems excluding the identity transformation are provided. Finally, an application to the Leaky Rectified Linear Unit activation function is presented. The fifth chapter is the conclusion and recommendations section, where a brief summary of the thesis is provided, and some open problems are suggested.