Schoof algoritmasının bazı uygulamaları

Abstract

ABD hükümetinin kriptolojik istihbarat ajansı, Ulusal Güvenlik Ajansı'nın tavsiye ettiği gibi eliptik eğri kriptografisinin kullanımı giderek artmaktadır. Kriptografide eliptik eğrilerin kullanımının başlıca avantajları; zengin bir matematiksel yapıya sahip olması, üzerinde yaygın olarak çalışılmış ve özellikle benzer kriptografik sistemlerin sağladığı güvenliği daha küçük anahtar boyutlarıyla sağlamasıdır. Bu çalışma süresinin benzer algoritmalardan daha kısa olduğunu göstermektedir. Bu tezde, sonlu cisimler üzerinde eliptik eğrinin rasyonel noktalarının sayısını bulmaya yarayan ilk deterministik polinom zamanlı algoritma, Schoof Algoritması sunulmuştur. Algoritma, eliptik eğri kriptografisinde bazı uygulamalara sahiptir. Öyle ki, bir eliptik eğrinin üzerindeki noktaların grubunda Ayrık Logaritma Problemi'ni çözmenin zorluğunu sınamak için noktaların sayısını bilmek önemlidir. Bu algoritma, uygulamalar için MAGMA hesaplama programı kullanılarak, temel kavramları, sonuçları ve ispatı olmak üzere tanıtıldı. Bu tez boyunca eliptik eğrilerle ilgili çeşitli aritmetik Python uygulamaları da verilmiştir.

Elliptic curve cryptography plays an increasing role, as the National Security Agency, the cryptologic intelligence agency of the United States government, has recommended its use. The main advantages of the use of elliptic curves in cryptography rely on the fact that these have a rich mathematical structure, widely studied, and specially on the fact that, with quite smaller keys, they provide the same security level as other cryptographic systems. This substantially reduces the running time of the corresponding algorithms. In this dissertation, the first deterministic polynomial time algorithm to find number of rational points on a given elliptic curve over finite fields, Schoof's Algorithm, is presented. The algorithm has applications in elliptic curve cryptography where it is important to know the number of points to judge the difficulty of solving the discrete logarithm problem in the group of points on an elliptic curve. The basic notions and results of that algorithm are introduced, including a proof, using the computation program MAGMA to implement algorithm. Throughout this thesis, several implementations in Python are given, including an implementation of the arithmetic of elliptic curves, an implementation of Schoof's algorithm.