Sonlu cisimler üzerinde frey eliptik eğrileri

Abstract

Bu çalışmada, p asal iken Fp sonlu cisimlerinde basitleştirilmiş Weierstrass denkleminin özel bir hali olan 2 32 y x nx = − Frey eliptik eğrileri üzerindeki nokta sayısı, noktaların mertebeleri ve bu eğrilerin grup yapıları incelenmiştir. Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümü olan birinci bölümde çalışma tanıtılmıştır. İkinci bölümde, çalışma boyunca gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, 2 32 y x nx = − Frey eliptik eğrilerinin nokta sayıları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Dördüncü bölümde, 2 32 y x nx = − Frey eliptik eğrisinin Fp sonlu cismi üzerindeki grup yapısı incelenmiştir. Grup yapısının, p ’nin 4 modunda 1’e ve 3’e denk olmasına göre iki tip olduğundan bahsedilmiştir. p ≡1 (mod 4) bir asal olmak üzere En eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların grup yapısının, a b, + ∈` olmak üzere . ( ) En p a ab F ZZ ≅ × olduğu gösterilmiştir. Bu eğrilerin grup yapısı incelenirken nokta sayısına da bakılmıştır. Ayrıca n ’nin Qp ’de bulunup bulunmayışına göre grubun dördüncü mertebeden elemana sahip olup olmayacağı gösterilmiştir. Beşinci bölümde, tezde elde edilen sonuçlar verilmiştir.

In this thesis, the number of rational points, their orders, and the group structure of them, on Frey elliptic curves 2 32 y x nx = − which are the special case of simplified Weierstrass equation over finite fields Fp where p is prime, are studied. This study consists of five chapters. In the first chapter, which is the introductory chapter of this thesis, the thesis is introduced. In the second chapter, the necessary definitions and results are recalled. In the third chapter, some new results concerning the number of points on the Frey elliptic curves 2 32 y x nx = − are given. In the fourth chapter, the group structures of the Frey elliptic curves 2 32 y x nx = − on finite fields Fp are obtained. It is shown that the group structure of these curves can be of two types according to that p is a prime congruent to 1 or 3 modulo 4. It has been shown that, in the former case, the group structure of rational points on the curve En is isomorphic to . ( ) En p a ab F ZZ ≅ × , where a b, + ∈` . While considering the group structure of these curves, the number of rational points is also studied. Further, it has also been shown that whether the group has elements of order 4 according to whether n is in Qp or not. In the fifth chapter, the results obtained in the thesis are recalled.