Genişletilmiş modüler grup ve sürekli kesirler

Abstract

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çalışma tanıtılmıştır. İkinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak tanımlar, örnekler, teoremler ve metotlar verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, Farey graftaki yollarla tamsayı sürekli kesirler arasındaki ilişkiler verilmiştir. Dördüncü bölümde, Farey graftaki herhangi bir yol için, bir tamsayı sürekli kesir ve genişletilmiş modüler grupta bir indirgenmiş blok form bulunmuş ve bu ilişkiyi kullanarak yeni blok formlarla Fibonacci sayıları arasında bazı sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca bu bölümde parabolik noktası aynı olan dönüşümler Farey graf yardımıyla araştırılmıştır. Beşinci bölümde, Farey graftaki yolları, tamsayı sürekli kesirleri ve genişletilmiş modüler grup elemanlarının yeni blok form gösterimini kullanarak, herhangi bir rasyonel sayı ile matris bileşenleri Fibonacci sayıları olan matrislerle bir ilişki elde edilmiştir. Ayrıca, önceki bölümlerde bulunan teoremler kullanılarak bir hesaplayıcı program hazırlanmıştır. Bu program, herhangi bir rasyonel sayı için elde edilen ve katsayıları Fibonacci sayıları olan matrisleri hesaplamaktadır. Altıncı bölümde, elde edilen sonuçlar verilmiş ve ileride yapılabilecek çalışmalar için açık problemlerden bahsedilmiştir.

This thesis consists of six chapters. In the first chapter, the study is introduced. In the second chapter, definitions, examples, theorems and methods that are used in the other sections are given. In the third chapter of the thesis, the relationships between integer continuous fractions and Farey graphs are given. In the fourth chapter, an integer continuous fraction for any path in Farey graph and a reduced block form in the extended modular group are obtained, then by using these results, some results between the new block forms and Fibonacci numbers are found. Also, the transformations that have same parabolic point are investigated by the Farey graph. In the fifth chapter, a relationship is obtained with matrices whose entries are Fibonacci numbers with any rational number by using the paths in Farey graphs, the new block form representation in the extended modular group and the integer continuous fractions. Furthermore, a calculator program is prepared by using theorems in the previous chapters. This program calculates the matrices whose entries are Fibonacci numbers are obtained for each rational number. In the sixth chapter, the obtained results are given and open problems for future studies are given.