Uzay-zaman kesirli difüzyon sistemlerinin optimal kontrolü

Abstract

Doğadaki pek çok fiziksel olay ideal ya da diğer bir deyişle normal bir davranış göstermez. Bu olayların anlaşılır hale gelebilmesinde matematiksel disiplin bir araç olarak kullanılmaktadır. Klasik analizin keyfi mertebeli türev ve integrallere genelleştirmesi olarak bilinen kesirli analiz de bu tezde çalışılan anormal difüzyon sürecinin matematiksel modellenmesinde kullanılan bir disiplindir. Genelleştirilmiş difüzyon olarak da adlandırılan anormal difüzyon davranışı uzay ve zaman kesirli türevli diferansiyel denklemler ile ifade edilir. Bu tezin çatısını oluşturan iki temel problemden ilki kartezyen, kutupsal ve küresel koordinat sistemlerinde tanımlanan bir uzay-zaman kesirli difüzyon sürecidir; öyle ki Caputo zaman türevi ve kesirli Laplace operatörleri ile tanımlanmıştır. Bu tipteki fiziksel sistemlerin optimal kontrol problemi de tezin ikinci temel problemidir. Bir Kesirli Optimal Kontrol Problemi'nde ya sistem dinamikleri ya da performans indeks en az bir kesirli türev içermektedir. Bu problemin amacı sistemin durum ve kontrol fonksiyonları ile belirlenen performans indeksi minimize (ya da maksimize) eden optimal kontrolü belirlemektir. Tez probleminde sistem dinamikleri uzay-zaman kesirli difüzyon denklemi ile ifade edilmiştir. Çözüm aşamasında uzay-zaman kesirli difüzyon denklemi, kesirli Laplace operatörünün spektral gösterimi tanımı ile özfonksiyon genişlemesi yöntemi kullanılarak zaman kesirli türevli diferansiyel denkleme indirgenmiştir. Optimallik koşullarının belirlenmesinde Lagrange çarpanı tekniği kullanılarak sağ ve sol kesirli türevli denklem sistemi elde edilmiştir. Bu denklem sisteminin nümerik çözümleri için Grünwald-Letnikov yaklaşımı kullanılmıştır. Ayrıca Volterra integral denklemleri üzerine kurulan iterasyonel bir yaklaşım ile karşılaştırılarak avantajları vurgulanmıştır.

Many physical events in the nature don't show ideal, i.e. normal, behavior. Mathematical discipline is used as a tool to make these events compherensible. Fractional Calculus known as the generalization of classical analysis to arbitrary order derivatives and integrals is a discipline which is used for mathematical modelling of anomalous diffusion process studied in this thesis. Anomalous diffusion also called as the generalized diffusion is defined by space and time fractional differential equations. The first one of the two main problems that constitutes the structure of this thesis is a space-time fractional diffusion process defined in cartesian, polar, spherical coordinate systems such that this process is described with the Caputo fractional derivative and fractional Laplacian operators. Optimal control problem of these type of problems is the second bacis problem of our thesis. In a Fractional Optimal Control Problem, either the system dynamics or the performans index contain at least one fractional derivative. The aim of this problem is determination of the optimal control function that minimizes (or maximizes) the performans index described with the state and control functions of the system. In this thesis problem, system dynamics are stated with the space-time fractional diffusion equation. At the solution process, the space-time fractional diffusion equation is reduced to a time fractional differential equation by using the eigenfunction expansion method with the definition of spectral representation of the fractional Laplacian operator. In the determination of the optimality conditions, differential equation system with the right and left side fractional derivatives is obtained by using the Lagrange multiplier technique. For the numerical solutions of this equation system, Grünwald-Letnikov approximation is used. In addition, the advantages of this method is expressed by the comparion with an iterational method based on the Volterra integral equations.