Uyumlu türevli değişim analizi ve optimal kontrol problemleri için karşıtlık koşulları

Abstract

Son yıllarda, klasik türevin limit tanımı genişletilerek kesirli mertebeden türev operatörlerine alternatif bir tanım önerilmiştir. Uyumlu türev olarak adlandırılan bu yerel türev operatörü sağ ve sol türev yaklaşımlarına genelleştirilmiş ve yüksek mertebeden uyumlu türev tanımı da verilmiştir. Pek çok araştırmacı klasik türevin temel özelliklerinin uyumlu türevler için de sağlandığını göstermiştir. Dolayısıyla, uyumlu türevli diferansiyel denklemler analitik yollar ile kolaylıkla çözülebilmektedir. Uyumlu türevin bu avantajı uyumlu diferansiyel denklemlerin gerçek dünya problemlerine hem modelleme hem de kontrol anlamında hızlı bir şekilde uygulanmasına yol açmıştır. Bu tezde, uyumlu türevli değişim analizi ve optimal kontrol problemlerinin karşıtlık koşulları verilmektedir. İlk olarak, uyumlu integral ile tanımlanan uyumlu türevli değişim analizi problemleri için var olan gerekli koşul farklı olarak değişim yöntemiyle elde edilmiş ve karşıtlık koşulları önerilmiştir. Daha sonra, klasik integral ile tanımlanan genelleştirilmiş uyumlu türevli değişim analizi problemi için gerekli koşul ve karşıtlık koşulları elde edilmiştir. Değişim analizi için elde edilen sonuçlardan faydalanarak, uyumlu integral ile tanımlanan uyumlu türevli optimal kontrol problemi için karşıtlık koşulları Hamilton formülasyonu ve Lagrange çarpanı tekniği ile verilmiştir. Benzer şekilde, klasik integral ile tanımlanan genelleştirilmiş uyumlu türevli optimal kontrol problemi için karşıtlık koşulları önerilmiştir. Uygulama problemi olarak, zaman uyumlu türev ile tanımlanan yayılım denkleminin optimal kontrolü incelenmiştir. Optimal kontrol kuralı, durum ve kontrol değişkenlerinin özfonksiyon açılımlarının kullanılması ile elde edilen uyumlu türevli lineer diferansiyel denklemlerin analitik olarak çözülmesi ile bulunmuştur. Tüm sonuçlar MATLAB programı kullanılarak çizdirilmiştir.

In recent years, an alternative definition to fractional order derivative operators has been proposed by expanding the limit definition of the classical derivative. This local operator, named as conformable derivative, has been generalized with the left and right derivative approaches and also the higher order conformable derivatives have been given. Many researchers have shown that some fundamental properties of the classical derivative are provided for conformable derivative. Therefore, differential equations with conformable derivative became easily solvable in an analytical way. This advantage of conformable derivative leads quick applications of the conformable differential equations to the real world problems both in the view of modeling and control. In this thesis, transversality conditions for the calculus of variations and optimal control problems with conformable derivative are presented. First of all, the existing necessary condition for the calculus of variations problems with conformable derivative is obtained by variation method and the transversality conditions are proposed. Then, the necessary condition and transversality conditions for the generalized calculus of variations problems with conformable derivative defined by classical integral are acquired. Utilizing the results obtained for the calculus of variations, the transversality conditions for the optimal control problem with conformable erivative defined by conformable integral are given by the Hamiltonian formulation and the Lagrange multiplier technique. As a similar manner, the transversality conditions for the generalized optimal control problem with conformable derivative defined by the classical integral are proposed. Optimal control of the diffusion equation defined by time conformable derivative is examined as an application problem. The optimal control is achieved by solving the obtained linear differential equation with conformable derivative arising from eigenfunction expansions of state and control variables. All results are plotted using MATLAB program.