Optimizasyon problemlerine üstel ceza fonksiyonu ile dinamik sistem yaklaşımı

Abstract

En basit anlamı ile optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları optimum biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse optimizasyon, bir fonksiyonun minimize veya maksimize edilmesidir. Optimizasyon problemlerini çözmek için günümüzde çeşitli teknikler uygulanmaktadır. Bu tezde; çözüm, ceza fonksiyonunun bir özel çeşidi olan üstel ceza fonksiyonunun kullanılması ile elde edilmiştir. Asıl amaç; doğrusal olmayan bir optimizasyon problemini üstel ceza fonksiyonu ile kısıtsız optimizasyon problemine dönüştürmektir. Elde edilen kısıtsız optimizasyon problemi dinamik sistem modeli kullanılarak çözülmüştür. Bu tezde ilk olarak optimizasyon ve üstel ceza fonksiyonu ile ilgili literatürde yapılmış çalışmalara yer verilmiştir. Devamında bir optimizasyon probleminin genel özelliklerinden, optimum çözüme sahip olabilmesi için gereken şartlardan bahsedilmiştir. Sonrasında kararlılık ile ilgili temel kavramlara yer verilmiştir. Son olarak ise problemi çözmek için kullanılacak olan üstel ceza fonksiyonunun genel özelliklerine yer verilmiştir. Problem bu fonksiyon yardımıyla kısıtsız bir probleme dönüştürülmüştür. Bu kısıtsız problemi çözmek için dinamik sistem yapısı oluşturulmuştur. Son olarak yöntemin doğruluğu kararlılık analizi ile pekiştirilmiştir. Son kısımlarda ise bahsedilen adımlar uygulanarak nümerik örneklere yer verilmiştir. Bu örneklerde Euler metodu kullanılmış ve çözümler, Matlab programı ile yapılmış ve devamında bahsedilen grafikler elde edilmiştir.

Optimization with the simplest means can be defined as using restricted resources optimally. Mathematically, optimization is expressed as a maximizing or minimizing of a function. Various techniques are implemented today for solving optimization problems. In this thesis, solution is obtained with using exponential penalty function which is a special type of penalty function. The main purpose is to convert non-linear optimization problem into unconstrained optimization problem with exponential penalty function. The unconstrained optimization problem obtained is solved by using dynamic system model. In this thesis, firstly in literature studies done about with exponential penalty function and optimization are mentioned. Secondly general features and conditions are mentioned to have optimal solution of optimization problems. Thirdly the basic concepts related to stability are given. Finally, general properties of the exponential penalty function using for solving optimization problem are presented. The problem is transformed into unconstrained problem with using this function. Dynamic system model is formed to solve this unconstrained optimization problem. In the last section, five numerical examples are given by applying steps mentioned. In these examples, Euler method is used and solutions are done using Matlab programme and graphics are drawn.